Ce principe peut être utilisé dans la construction de la période de 1/19, dont le dernier chiffre est 1 et dont l'avant-dernier reste est 2. y Cela signifie que les opérations arithmétiques sont continues. Z 1222 | Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2 = 2/4 = 3/6 = 2807/5614 , etc. 5 {\displaystyle \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})} Cette période engendre 5 autres périodes qui sont les seules possibles, à une permutation circulaire près, de tout quotient m/27 où m et 27 sont premiers entre eux. × Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel. La première étape consiste à décomposer 351 en produit de facteurs premiers : Il faut ensuite décomposer cette fraction en éléments simples. {\displaystyle p} d on obtient la caractérisation : Théorème — Puisqu'il est premier avec m donc avec r0, il divise 10ℓ' – 1, c'est-à-dire que ℓ' est un multiple de ℓ. Lorsque n est un nombre premier différent de 2 et 5, la longueur de la période de 1/n peut être égale à n – 1 (la longueur maximale pour une division par un entier n > 1[7]) ; par exemple : Elle peut aussi être plus petite, comme pour. = d 1 Il est possible de noter la répétition de chiffres à l'infini en plaçant des points de suspension après plusieurs occurrences de décimales. {\displaystyle {\frac {3}{40}}={\frac {3}{2^{3}\times 5}}={\frac {3\times 5^{2}}{2^{3}\times 5^{3}}}={\frac {75}{10^{3}}}=0{,}075}. × Jérôme Germoni, « Développement décimal de 1/p (d'après O. Mathieu), diaporama », sur CRDP de Lyon 1, 2006. Il remarque que si n est premier ou puissance d'un nombre premier, il existe des racines primitives. Si n et 10 sont premiers entre eux, la division posée pour 1/n permet de trouver aussi les développements décimaux de rk/n pour tous les restes intervenant dans la division. On dit alors que 10 est une racine primitive modulo n. Ces nombres, appelés parfois "nombres premiers longs", forment la suite 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97... référencée A006883 dans l'encyclopédie des suites entières, ou A001913 si l'on excepte le 2. Ceux-ci sont suivis des chiffres de la (plus courte) période de la partie décimale périodique, marqués par une barre au-dessus ou en dessous, voire par des crochets les encadrant. R Effectivement, la période de 1/21 est de longueur 6 : En utilisant le fait que Par exemple, si un certificat de placement de 1 000$ offre à son détenteur la possibilité de retirer un intérêt semestriel de 40$, le taux périodique de ce placement est de 4%, soit Or d'après le § « Écriture fractionnaire d'un développement périodique » ci-dessus. La dernière modification de cette page a été faite le 1 mars 2021 à 20:06. Il définit l'ordre d'un nombre modulo n comme le plus petit entier non nul k tel que ak ait pour reste 1 modulo n. Il s'intéresse aux racines primitives : celles dont les puissances modulo n permettent de donner tous les entiers inférieurs à n et premier avec n. Une racine primitive a étant choisie, il définit l'indice d'un nombre b comme l'entier i tel que ai a pour reste b modulo n. Cet indice i s'appelle de nos jours le logarithme discret. ( 3 y De plus, la longueur de cette période — dont la valeur sera précisée plus loin — est strictement inférieure à b. Il faut trouver deux entiers x et y tels que. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. On aura ainsi la somme infinie qui commence par: = La suite des restes est périodique (dès le début) et la longueur ℓ de sa période est strictement inférieure à b. Le reste est toujours strictement compris entre 0 et b. À chaque étape, il n'y a donc que b – 1 restes possibles, si bien qu'on ne peut pas opérer b étapes sans rencontrer deux restes identiques. 11...1 Ces périodes sont obtenues en multipliant la période de 1/n par m (inférieur à n). Par exemple, la période de 1/7 est 142857, partageable en 6, 3 ou 2 blocs : Cette propriété porte le nom de théorème de Midy. On effectue la division euclidienne a = bN + r0 de a par b, puis les divisions successives de 10ri par b, donnant pour quotient ai+1 et pour reste ri+1. 75 appelés communément "répunits" : R Un nombre est périodique ou cyclique lorsqu'il est composé d'une suite répétitive de nombres naturels. Tout nombre rationnel non nul s'exprime par exactement une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1 (ils sont premiers entre eux). 12 Dans l'idée de convertir en forme décimale un nombre rationnel, représenté a priori sous forme de fraction de deux entiers, on peut poser une division. Développement périodique et nombre rationnel, Écriture fractionnaire d'un développement périodique, Caractérisation pratique des nombres premiers longs, Un développement décimal est dit impropre s'il est périodique de période. 2) Jean le Rond D'Alembert en publie dans son Encyclopédie méthodique[18]. chiffres 1 Taux périodique = 18.5%/365 = 0.0507% Taux effectif = (1,000507)365 – 1 = 20.32% Sharp EL-733A: 365 2nd F FV 18.5 = 20.32 chiffres 1 Pour évaluer le quotient 4/3, une calculatrice affiche usuellement le chiffre 1, un séparateur décimal (point ou virgule) et plusieurs chiffres 3. L'écriture décimale des entiers apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques notamment en Orient. × Z On se retrouve dans la même situation qu'au départ. : Lorsque tu compares des nombres négatifs, le nombre le plus éloigné du « 0 » est le plus petit nombre. {\displaystyle \mathbb {Q} ={\big (}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}){\big )}/{\mathcal {R}}} En mathématiques, nous travaillons avec 5 grands ensembles de base, qui permettent de manipuler les nombres. Pour tous i ≤ j, ri = rj si et seulement si 10ia et 10ja ont même reste dans la division par b, c'est-à-dire si l'entier 10ja – 10ia = 10ia(10j–i – 1) est un multiple de b, ou encore — puisque b est premier avec a et 10 — si b divise 10j–i – 1. En choisissant convenablement la valeur de $R$, on peut donc obtenir comme valeur initiale n’importe quelle valeur prise par $f$ au cours d’une période. Dans le chapitre 6 de son traité, il applique ces connaissances aux fractions. Lorsque n n'est pas premier, φ(n) < n – 1. × Le théorème d'Ostrowski montre que toute valeur absolue non triviale sur ℚ est topologiquement équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à une valeur absolue p-adique. p = 3 Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de 10 pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale. Par exemple, si on prend le nombre rationnel 12/3 = 1,71 ) Muni de la topologie de l'ordre usuel, ℚ est un corps topologique. Il existe 6 périodes possibles et celle associée à l'indice 1 est, d'après les tables[20], 074 donc la période associée à 11 est 074 permutée de deux cases, soit 407 : On prend ensuite n = 13. {\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)} Pour chacun de ces dénominateurs n, il détermine une racine primitive a modulo n. Il détermine ensuite l'indice i de 10 dans la base a. Il sait alors que la période de 1/n a pour longueur φ(n)/i, dont il détermine la valeur. , avec Le développement de 1/n possède plusieurs périodes (il suffit, pour en créer une nouvelle, de mettre bout à bout deux périodes identiques) ; l'intérêt est de travailler sur la plus courte que l'on appellera la période et d'en déterminer certaines propriétés. Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 : etc. On peut ensuite injecter les entiers dans les rationnels, et définir des lois de composition interne pour se donner une structure de corps. = La suite de divisions se poursuit donc indéfiniment, et les différents restes ri sont les restes de la division euclidienne de 10ia par b. L'algorithme de division assure que, pour tout i : N,a1a2a3…ai × 10i = E(a/b × 10i). Ainsi, on a. Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le système décimal nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessous de la séquence périodique. Le taux périodique est le taux utilisé à chaque période de calcul d’intérêt pour déterminer l’intérêt sur un emprunt ou sur un placement. La présentation d'un nombre décimal avec une partie entière, une virgule et une partie décimale apparaît dans les écrits du mathématicien Ibrahim Uqlidisi au Xe siècle quand il présente le système de numération indien[11] mais le calcul des nombres sous forme de fractions reste prédominant[12]. On peut le trouver en résolvant l'équation diophantienne nx – 10y = 9. Il existe une forme privilégiée d'écriture. Par conséquent, les décimales se répètent : 0,0675675… = 0,0675. Il forme donc un sous-ensemble des nombres rationnels qui comprend l'ensemble des nombres entiers (sur le schéma, l'ensemble des nombres décimaux serait représenté par un cercle supplémentaire autour du cercle bleu des nombres entiers et à l'intérieur du rectangle vert des … Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. L’expression 3a se lit « racine cubique de a ». ( En mathématiques, le développement décimal périodique d'un nombre rationnel est une écriture qui explicite la suite des décimales de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. , {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} Cette propriété rend remarquables les périodes des nombres 1/n pour lesquels 10 est d'ordre n – 1. 0 } Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. ( Un π-nacle des mathématiques Cet article est un clin d’œil au nombre π et à son histoire, il est donc écrit dans un périodique et est lui-même périodique. Au cours du XVIIIe siècle, les mathématiciens se préoccupent de la période décimale des fractions. R R , La table numérique fournit comme racine primitive 2, l'indice de 10 est de 6, et l'indice de 11 est 13 = 2×6 + 1[20]. Dans ce cas, le quotient se présente sous la forme d'un développement décimal périodique, dont la période est différente de 0 et 9 et commence immédiatement après la virgule. 5 La valeur à l’origine de $f(t+R)$ est $f(R)$. R Cet objectif le conduit à travailler sur les restes dans la division par n qu'il appelle les résidus. si bien que n divise (10ℓ' – 1)r0. la période recherchée, on sait, par permutation circulaire, que. Le résultat est prévisible. , p {\displaystyle p} Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer par une fraction de la forme Voir plus d'idées sur le thème mathématiques, maths ce1, jeux mathématiques. L’informaticien se demande déjà si ces représentations sont commodes pour faire faire les opérations arithmétiques à un processeur. Si l'on note A1, … As ces blocs, ils peuvent être vus comme l'écriture décimale de s nombres. − {\displaystyle d} diviseur propre de. Ces nombres ont donc deux développements décimaux, périodiques, l'un de période 0 et l'autre de période 9. ( Un deuxième critère est donnée par la fraction continue. n¿ nombre de versements. un nombre premier. − Propriétésdesnombresréels Proposition Les opérations dans les nombres réels satisfont les propriétés suivantes : 1 ( a + b) + c= + ( ) pour tous a, ∈R (l’addition est associative); 2 a+0 = a pour tout a ∈R (l’addition admet un neutre 0); 3 a + b= a pour tous a, ∈R (l’addition est commutative); 4 Pour tout a ∈R, il existe un nombre noté −a et appelél’opposéde a, tel que Slt, Je me demandais s'il était possible de démontrer qu'un nombre rationnel était périodique. Définition. Le développement impropre d'un nombre décimal n'est pas celui qui vient spontanément à l'esprit, mais cela ne signifie pas qu'on ne soit jamais amené à l'écrire. p Soit | , c'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels est le quotient de En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent. Ces ensembles sont parfois complémentaires et peuvent aussi se distinguer par les types de nombres qu’ils contiennent. = À partir du XIXe siècle et jusqu'au développement des calculatrices, nombreux sont les ouvrages permettant de calculer à la main les périodes des nombres fractionnaires. , etc. ) Ce critère est néanmoins malcommode pour évaluer la rationalité d'un nombre. 3 On trouve ainsi dans Introduction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République au 1er vendémiaire an 10, avec des tables de rapports et de réductions, par C.H. d p Dans tout cet article, sauf précision contraire, « périodique » signifie « périodique à partir d'un certain rang ». Qu’elle est le taux effectif de la carte? {\displaystyle R_{6}=3.7.11.13.37} 5 (on remarquera l'absence du 8)[3]. ne divise aucun des nombres , avec 5 diviseur de 40, etc. On a montré (voir supra) que ces rationnels sont ceux dont le développement propre a pour période 0. Si n est premier avec 10, on peut construire la période de 1/n en posant la division mais on peut aussi la reconstituer uniquement par multiplication à partir de son dernier terme. R La période est alors constituée de s blocs de t chiffres. Un signal # variable, périodique, sinusoïdal et alternatif (c’est-à-dire de valeur moyenne nulle), a pour expression littérale : #(+)=(%×cos(2×L×H×++") (%: amplitude de la tension, en volt (V) L : le nombre mathématique bien connu H : la fréquence du signal, en hertz (Hz) {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} Un des premiers à utiliser une notation spécifique pour la période d'un nombre fractionnaire est John Marsh[15], qui signale le début et la fin de la période par un point placé au-dessus du chiffre. On peut illustrer sa démarche sur un exemple : il s'agit de chercher le développement décimal de. La période de 4 est la période d'indice 0 (076923) décalée de 5 cases : La somme de ces deux nombres a une période de longueur multiple commun des deux longueurs, ici, de longueur 6. 2019 - Découvrez le tableau "Mathématique" de Leila Djadoudi sur Pinterest. { Il s’agit de l’opération inverse d’élever au cube. 40 Z Haros, une table donnant les périodes des fractions de dénominateurs inférieurs à 50[19]. = On répartit ainsi tous les entiers premiers avec n et inférieurs à n dans des ensembles disjoints deux à deux contenant ℓ restes consécutifs et associés à φ(n)/ℓ périodes différentes. Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’. ∖ {\displaystyle R_{4}=11.101} 2 b. Cas : fin de période : vn f = ∑ i=1 n ai × (1+t) (n−i) (annuités de fin de période).-Si le dernier versement est place à la fin de la dernière période. 9 La résolution de l'équation diophantienne 13x + 27y = 251 donne pour décomposition : On prend d'abord n = 27. Or 1,333333333333 n'est qu'une valeur approchée (à 10–12 près) de ce quotient, comme le montre le calcul de l'opération réciproque : L'algorithme de division appliqué à cet exemple produit à chaque étape le reste 1 qui, multiplié par 10 et divisé par 3, produit le quotient entier 3 et à nouveau un reste 1. Il prouve ensuite que la fraction m/n a une période de même longueur et que cette période est à choisir entre i périodes différentes, à une permutation près. {\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}} est un nombre qui est une portion d’un tout ou une portion d’une unité. × Lecture de la première formule: la somme, depuis k égal un et jusqu'à k tendant vers l'infini, de la fraction un sur onze à la puissance k est égale à un dixième, soit zéro virgule un. 5 Cela conduit à compléter ℚ en construisant un ensemble plus grand, qui possède la propriété de la borne supérieure et dans lequel toute suite de Cauchy converge : l'ensemble des nombres réels. Il n'en existe d'autre part qu'un seul compris entre 1 et 9. Notons rk et rk+ℓ les deux premiers (avec donc 0 < ℓ < b). La somme de ces s nombres est alors toujours un multiple de 10t – 1 = 99…9. p = d Grâce à ses services d’accompagnement gratuits et stimulants, Alloprof engage les élèves et leurs parents dans la réussite éducative. On pose : La fonction ainsi définie est complètement multiplicative, ce qui permet de poser sans ambiguïté, pour tout nombre rationnel Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. , 81 Lorsqu'on arrive au reste 50 et qu'on « abaisse le 0 », on divise à nouveau 500 par 74. Avant d'en démontrer une version plus précise, éliminons des cas : Il reste à étudier le résultat d'une division de a par b lorsque b est strictement supérieur à 1 et premier avec a et 10. {\displaystyle R_{3}=3.37} Cela est vrai dans n'importe quelle base. ) Un nombre est rationnel, si et seulement si, son développement décimal est périodique à partir d'un certain chiffre 픻, ℕ et ℤ sont inclus dans ℚ Nombres réels Si l'entier m, inférieur à n et premier avec n, ne fait pas partie de ce premier groupe, on a encore, Puisque m ≤ n, le produit m × a1…aℓ est strictement inférieur à 10ℓ. 1 On a ainsi, pour 1/7, dont les restes sont successivement 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, etc. [8]: (7 × 142857 = 999999, période de l'écriture décimale impropre de 1). , différente de la précédente. Par exemple, elle conduit à l'égalité 0,9 = 9/9, c'est-à-dire 0,999… = 1, qui est parfois contestée de façon naïve (voir l'article « Développement décimal de l'unité », qui en donne d'autres preuves et analyse les incrédulités à ce sujet ; le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal). ... Des nombres décimaux avec une partie décimale infinie et non périodique : π=3,141 592 653… 2 … Dès que l'on retombe sur un reste déjà obtenu, la séquence entière se répète. en 6 blocs : 1+ 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 (divisible par 9). Tout est fait pour faciliter le calcul des fractions sous forme décimale et, tout comme il existe des tables de logarithmes ou des tables de sinus, existent aussi des tables de périodes. R La révolution française privilégie le système décimal dans les unités de mesure et encourage le calcul sous forme décimale. Ces blocs peuvent aussi être précédés par un bloc d'une ou plusieurs décimales qui ne se répète pas. 239.4649 Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule. Ainsi, la longueur de la période de 1/21 doit diviser φ(21) = 2 × 6 = 12. Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique À chaque permutation de cette nouvelle période est associé un quotient de la forme m'/n, où m' est l'un des ℓ restes de m/n. Par exemple, pour déterminer la période de 1/7, on cherche d'abord le chiffre qui multiplié par 7 donne un nombre se terminant par 9. 6 La longueur de la période doit diviser φ(n) et elle n'est jamais maximale. Cette séquence est appelée : « période du développement décimal illimité ». = = Puisque 7 × 7 = 49, on peut poser, Les chiffres successifs de la période se trouvent en remplissant progressivement la multiplication à trous. 2016 - Explorez le tableau « Mathématiques » de Lutin Bazar, auquel 3383 utilisateurs de Pinterest sont abonnés. {\displaystyle 0{,}12\,122\,1222\,12222...\,} Ainsi un nombre décimal est rationnel. {\displaystyle 10^{d}-1=9\times {\underset {d{\text{ chiffres 1}}}{\underbrace {11...1} }}} Par contre, ℚ ne possède pas la propriété de la borne supérieure : l'ensemble des nombres rationnels x tels que x2 < 2 est majoré mais ne possède pas de plus petit majorant. 3 ATTENTION!! L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou ℚ (baptisé ainsi par Peano en 1895[1] d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). , avec 6 diviseur de 12 ; 1/37 n’est pas à période maximale car 37 divise Cet exemple laisse prévoir la propriété suivante : Écriture décimale — Le développement décimal propre[1] de tout nombre rationnel est périodique[2]. NOMBRES PÉRIODIQUES. On a déjà démontré (voir supra) que le cas général se ramène au cas où n est premier avec 10 et strictement supérieur à 1, et qu'alors : Il ne reste donc plus qu'à vérifier que ℓ divise ℓ'. 0,666 ou 0,4545 ou 0,108108 Comme numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période. 5 / De plus est une fonction périodique, de période , un autre nombre remarquable. 3 {\displaystyle 1/p} 2,45 admet pour écritures fractionnaires (entre autres) : \dfrac{245}{100} , … ) Jean Le Rond d'Alembert, Jerôme de La Lande, Charles Bossut, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, Conjecture d'Artin sur les racines primitives, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Développement_décimal_périodique&oldid=178538626, Article contenant un appel à traduction en anglais, Article contenant un appel à traduction en allemand, Portail:Arithmétique et théorie des nombres/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, si le dénominateur contient des puissances de, lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 –. : Alors est premier ≠ 2,3 et 5. Pour n = 27 par exemple, on a φ(27) = 2 × 9 = 18 et 1/27 a pour période 037. Illustration à propos Le nombre irrationnel de constante mathématique de symbole de pi sur le cercle, lettre grecque, fond. {\displaystyle R_{d}={\underset {d{\text{ chiffres 1}}}{\underbrace {11...1} }}} Une grande avancée et une formalisation de ces notions sont faites par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. R On observe qu'à chaque étape, il y a un reste ; les restes successifs affichés ci-dessus sont 56, 42 et 50. Le système décimal arrive en Europe tardivement (vers le Xe siècle) et c'est Simon Stevin qui prône l'écriture décimale des nombres fractionnaires qu'il appelle les rompus. Une soustraction permet alors de faire disparaître la partie décimale. 4 Il est donc utile de connaître la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres Les nombres remarquables sont typiquement des éléments du corps des nombres réels ou des complexes. Q Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule. 1. 0,075 n'est pas complet, et sa complétion est le corps ℚp des nombres p-adiques. La période n'est ni 0 ni 9. d Emil Artin a émis l'hypothèse que cette suite est infinie et que sa densité parmi les nombres premiers est une constante (la même quand on remplace 10 par certains autres entiers), valant environ 0,374 (voir l'article sur la Conjecture d'Artin sur les racines primitives)[8]. fractions, de nombres fractionnaires ou de nombres décimaux fini ou infini périodique. Périodes des m/n — Si l'ordre de 10 est ℓ, il existe φ(n)/ℓ périodes possibles — à une permutation circulaire près — pour un quotient de la forme m/n où m et n sont premiers entre eux. On peut remarquer de plus que les décimales obtenues sont les mêmes si l'on change la représentation fractionnaire de départ (par exemple 5/74 = 25/370). De plus, on peut démontrer[9] que si le nombre de blocs n'est que de 2 ou 3, la somme est exactement égale à 10t – 1. Lorsqu'une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que d'une manière rigoureuse : Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique et, réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. a Les deux nombres rationnels représentés par a/b et c/d sont égaux si et seulement si ad = bc. 10 L'idée de prolonger les opérations au-delà de l'unité est présente en Chine dès le IIIe siècle mais la partie décimale y est présentée sous forme d'une fraction décimale[10]. On appelle fraction irréductible cette expression avec un dénominateur positif. x Développement décimal périodique d'un nombre décimal — Les réels correspondant aux développements décimaux impropres[1] sont les nombres décimaux non nuls. définit un espace métrique. Les fractions et les nombres fractionnaires . {\displaystyle p} Ce dernier regroupe tous les nombres rationnels dont le développement décimal est fini et non-périodique. Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L’exemple le plus classique de numération en base entière est celui de la numération en base dix. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. p ou, plus simplement, que ce produit doit se terminer par 9. L’expression a3 se lit « a au cube ». Un quart s’écrit car tandis que représente . Comme n est premier avec 10, un tel nombre aℓ existe. {\displaystyle R_{5}=41.271} Les exemples précédents ont mis en évidence le rôle de la répartition des restes dans la division de m par n. Ces restes correspondent aux restes de la division euclidienne de 10im par n. Cette question se traite bien si l'on fait intervenir l'arithmétique modulaire et les notions de congruence sur les entiers et plus précisément l'ordre multiplicatif[4] de 10 modulo n : Longueur de la période de m/n[5] — Soit m/n une fraction irréductible.
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